连续信号与离散信号,傅里叶级数与傅里叶变换的对比分析
我们来比较一下连续时间信号（Continuous-Time Signals）和离散时间信号（Discrete-Time Signals）在傅里叶分析中的主要区别，主要体现在傅里叶级数（Fourier Series, FS）和傅里叶变换（Fourier Transform, FT）上。
"核心概念回顾"
"傅里叶级数 (FS):" 用于将"周期性信号"分解为一系列频率成整数倍关系（谐波）的复指数（或正余弦）分量的线性组合。适用于在"无限"时间范围内重复的信号。
"傅里叶变换 (FT):" 用于将"非周期性信号"（或周期性信号的一个周期）分解为所有可能频率成分的连续谱。适用于在"有限"时间范围内定义或感兴趣的信号。
"连续时间信号 (CT Signals) vs. 离散时间信号 (DT Signals) 的傅里叶分析比较"
| 特征 | 连续时间信号 (CT Signals) | 离散时间信号 (DT Signals) |
| :--------------- | :----------------------------------------------------------- | :-------------------------------------------------------------- |
| "信号形式" | 在时间域是连续的函数 `x(t)`。 | 在时间域是离散的序列 `x[n]`，由 `x[n] = x(nT)` 定义，其中 `T` 是采样周期。 |
| "傅里叶分析工具" | 主要
相关内容：
首先，傅里叶级数是从周期函数推导出来的：
可以看出其频谱Fn由于其结果函数的任意性，一般不具有周期性。
其频谱是离散谱：
傅里叶变换是对于非周期函数而言，也就是周期T趋于无穷大：
由于其谱线间隔无穷小，因此其频谱是连续的：
由上面的频谱函数可以看出，其频谱不具有周期性。
周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即
其频谱是一个冲击序列，因此也是离散的：
可以看出，由于其频谱中的冲击强度随n的变化而一直变化，因此其频谱一般不具有周期性。
对于周期序列的离散傅里叶级数(DFS)：
可以看出，由于 f 离散周期取值，其频谱Cn一般具有周期性质。
对于非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)：
对于周期序列的离散傅里叶变换(DFT)：
其中
四种傅里叶变换的特点和关系：
至于周期函数的傅里叶变换，其时域肯定是连续、周期的，其频域则是离散、非周期的；DFT则可以认为与DFS相同。
简单总结：
1：连续傅里叶级数FS由周期函数得出，对应于离散周期序列的离散傅里叶级数DFS;
2:傅里叶变换FT由非周期函数得出，对应于非周期离散序列的DTFT；
3：周期函数的傅里叶变换对应于周期序列的离散傅里叶变换DFT；
4：周期序列的离散傅里叶变换DFT与离散周期序列的离散傅里叶级数DFS可以认为完全相同。